Rumus-Rumus Trigonometri

Trigonometri

    Materi

Jumlah & selisih sudut:

Sudut rangkap:

Jumlah atau selisih à perkalian:

Perkalian  jumlah atau selisih:

sumber :: http://pondokmerana.blogspot.com/2012/05/kumpulan-rumus-trigonometri-kelas-xi.html

Contoh soal dan pembahasan

Soal No. 1
Dengan menggunakan rumus penjumlahan dua sudut tentukan nilai dari:
a) sin 75°
b) cos 75°
c) tan 105°

Pembahasan
a) Rumus jumlah dua sudut untuk sinus

sin (A + B) = sin A cos B + cos A sin B

sin 75° = sin (45° + 30°)
= sin 45° cos 30° + cos 45° sin 30°
= 1/2 √2 ⋅ 1/2 √3 + 1/2 √2 ⋅ 1/2
= 1/4 √6 + 1/4 √2 = 1/4 (√6 + √2)

b) Rumus jumlah dua sudut untuk cosinus

cos (a + B) = cos A cos B − sin A sin B

cos 75° = cos (45° + 30°)
= cos 45° ⋅ cos 30° − sin 45° ⋅ sin 30°
= 1/2 √2 ⋅ 1/2 √3 − 1/2 √2 ⋅ 1/2
= 1/4 √6 − 1/4 √2 = 1/4 (√6 − √2)

c) Rumus jumlah dua sudut untuk tan

tan 105° = tan (60° + 45°)



Soal No. 2
Dengan menggunakan rumus selisih dua sudut tentukan nilai dari:
a) sin 15°
b) cos 15°
c) tan (3x − 2y)

Pembahasan
a) Rumus selisih dua sudut untuk sinus

sin (A − B) = sin A cos B − cos A sin B

sin 15° = sin 45° − 30°)
= sin 45° ⋅ cos 30° − cos 45° ⋅ sin 30°
= 1/2 √2 ⋅ 1/2 √3 − 1/2 √2 ⋅ 1/2
= 1/4 √6 − 1/4 √2 = 1/4(√6 − √2)

b) Rumus selisih dua sudut untuk cosinus

cos (A − B) = cos A cos B + sin A sin B

cos 15° = cos (45° − 30°)
= cos 45° ⋅ cos 30° + sin 45° ⋅ sin 30°
= 1/2 √2 ⋅ 1/2 √3 + 1/2 √2 ⋅ 1/2
= 1/4 √6 + 1/4 √2 = 1/4(√6 + √2)

c) Rumus selisih sudut untuk tan

Sehingga

Soal No. 3
Diberikan dua buah sudut A dan B dengan nilai sinus masing-masing adalah sin A = 4/5 dan sin B = 12/13. Sudut A adalah sudut tumpul sedangkan sudut B adalah sudut lancip. Tentukan:
A. sin (A + B)
B. sin (A − B)

Pembahasan
Gambar segitiga untuk cek nilai sin dan cos kedua sudut, tentunya setelah itu aplikasikan rumus phytagoras untuk mendapatkan panjang sisi-sisi segitiga,  seperti gambar berikut:


Nilai sin dan cos "sementara" untuk masing-masing sudut terlihat dari segitiga di atas. Dibilang sementara karena setelah itu kita harus tentukan positif atau negatifnya. Setelah  dicocokkan dengan kuadrannya barulah didapat  nilai sin atau cos yang benar.

sin A = 4/5
cos A = 3/5

sin B =12/13
cos B = 5/13

Periksa ulang,

• Sudut A tumpul sehingga berada di kuadran II (antara 90 dan 180) . Lihat ilustrasi di bawah, untuk kuadran II nilai sin adalah positif, sehingga sin A benar 4/5. Sementara untuk cos A, karena dikuadran II, nilainya negatif, jadi cos A = − 3/5
• Sudut B  lancip, sehingga berada di kuadran I (antara 0 dan 90). Baik nilai sin atau cos dikuadran 1 adalah positif, sehingga data di atas bisa langsung digunakan.

a) dari data sin dan cos yang telah diperoleh didapatkan



b) dari data sin dan cos yang telah diperoleh didapatkan




Soal No. 4
Diberikan dua buah sudut A dan B dengan nilai sinus masing-masing adalah sin A = 3/5 dan sin B = 12/13. Sudut A dan sudut B adalah sudut lancip. Tentukan nilai dari cos (A + B)

Pembahasan
Cek nilai sin dan cos dengan segitiga seperti sebelumnya

sin A = 3/5,  cos A = 4/5

sin B = 12/13,  cos B = 5/13

Kedua sudut adalah lancip hingga baik sin ataupun cos adalah positif semua.

Dari data yang telah diperoleh masukkan rumus untuk cos jumlah sudut

Soal No. 5
Diketahui Δ PQR dengan ∠ P dan ∠ Q lancip. Jika tan P = 3/4 dan tan Q = 1/3, tentukan nilai dari cos R

Pembahasan
Cek sin cos kedua sudut  P dan Q

sin P = 3/5,   cos P = 4/5

sin Q = 1/√10, cos Q = 3/√10

P + Q + R = 180 atau R = 180 - (P + Q)

cos R = cos (180 - (P + Q))
ingat cos (180 - x) = - cos x



Soal No. 6
Jika tan α = 1, tan β = 1/3 dengan α dan β sudut lancip maka sin (α − β) =....
A. 2/3 √5
B. 1/5 √5
C. 1/2
D. 2/5
E. 1/5
(UN 2007-2008)

Pembahasan
tan α = 1, jika digambarkan dalam sebuah segitiga seperti berikut:



Dari gambar terlihat:
sin α = 1/ √2
cos α = 1/ √2

tan β = 1/3, jika digambarkan dalam sebuah segitiga akan diperoleh nilai sin dan cosnya:



Diperoleh
sin β = 1/√10
cos β = 3/√10

Kembali ke soal, diminta sin (α − β) =....

Dengan rumus selisih dua sudut:



Jadi sin (α − β) = 1/5 √5

Soal No. 7
Jika A + B = π/3 dan cos A cos B = 5/8, maka cos (A − B) =....
A. 1/4
B. 1/2
C. 3/4
D. 1
E. 5/4
un hal 102

Pembahasan
Dari rumus selisih dua sudut untuk cosinus:
cos (A + B) = cos A cos B − sin A sin B

Masukkan data soal
1/2 = 5/8 − sin A sin B
sin A sin B = 5/8 − 1/2 = 1/8

Diminta cos (A − B) =....
cos (A − B) = cos A cos B + sin A sin B
= 5/8 + 1/8 = 6/8 = 3/4

Soal No. 8
ABC adalah sebuah segitiga. Jika sin A = 3/5 dan cotan B = 7, maka ∠C = .....
A. 30°
B. 45°
C. 60°
D. 90°
E. 135°

Pembahasan
Dari data sin A = 3/5 dan cotan B = 7 (atau kalau dari tan nya, tan B = 1/7), diperoleh



sin A = 3/5
cos A = 4/5

sin B = 1/5√2
cos B = 7/5√2

Jumlah sudut dalam suatu segitiga adalah 180, jadi A + B + C = 180° atau bisa juga C = 180 − (A + B)

Kembali ke soal, diminta ∠C, kita cari sin C dulu:

sin C = sin [180 − (A + B)]
sin C = sin (A + B), ingat kembali ada rumus sin (180 − x) = sin x
sin C = sin A cos B + cos A sin B

Sudut yang nilai sin nya 1/2 √2 adalah 45°

sumber : http://matematikastudycenter.com/kelas-11-sma/58-11-sma-trigonometri-jumlah-dan-selisih-dua-sudut

Soal 1.

       Sin (a-b) /     tan a – tan b

        = sin a . cos b – cos a . sin b/ sin a  /cos a  –  sin b/cos b

                                  =  sin a . cos b  – cos a. Sin b / Sin a . cos b – cos a . sin b/ Cos a . cos b

                                  = sin a . cos b – cos a . sin b x          cos a. Cos b / Sin a . cos b – cos a . sin b

                                     = cos a . cos b

Soal 2

Jika 0 < x < П/2 dan 2 tan² x – 5 tan x + 2 = 0, maka nilai dari 2 sin x . cos x adalah ..

Pembahasan :

2 tan² x – 5 tan x + 2 = 0

(2 tan x -1) (tan x -2) = 0

2 tan x – 1 = 0                tan x = 2

Tan x = ½

Jadi untuk nilai sin x  diambil dari perbandingan tan x = ½

Tan x = ½ = sa/mi

Mencari sisi miring  menggunakan  rumus phytagoras :

Mi = akar 1² + 2²

     = akar 5

Sehingga nilai sin x = de/mi

                                        = 1/ akar 5

Cos x = 2/ akar 5

Jadi nilai 2 sin x cos x = 2 x 1/akar 5 x 2/akar 5

                                        = 0,8

Soal 3.

Diketahui α ⁰ sudut lancip dan sin α = 2/3 . Nilai tg α ⁰  adalah …

Sin x = 2/3 = de/mi

Tg x = de/sa

Untuk mencari sisi samping sudut dengan menggunakan hukum phytagoras :

Sa = akar 3² – 2²

    = akar 5

Tg x = 2/akar 5

        = 2/akar 5 x akar 5/akar 5

       = 2/5 akar 5

Soal 4.

Diketahui sin A⁰ = 12/13 untuk П/2 < A < П. Nilai dari sin (П/2 – A)⁰ adalah …

Pembahasan :

Sin (П/2 – A)⁰ = sin A . cos B – cos A . sin B

                         = Sin 90 . 5/13 – cos 90 . 12/13

                         = 5/13

Soal 5.

Pada П/2 < a < П, nilai tg a = 2,4. Nilai sin a =

Tg a = 2,4 = 24/10 = de/sa

Karena range sudut antara 90⁰ dan 180⁰, maka terletak pada kuadran II sehingga nilai tg bernilai negatif.

Tg a = – 24/10 = de/sa

Sin a = de/mi

Untuk mencari sisi miringnya menggunakan hukum phytagoras..

Mi = akar 24² + 10²

     = akar 676

   = 26

Maka nilai sin a = 24/26

                    Sin a = 12/13

Soal 6

Berikut ini2 senilai dengan sin 125 adalah ….

Sin 125⁰ sama dengan  sin 55⁰

Sin 125 terletak di kuadran II jadi, sin (180 – 125) = sin 55⁰

Soal  7 .

Diketahui segitiga  ABC dengan panjang sisi-sisinya a = 9, b = 7, dan c = 8. Nilai cos C = …

c² = a² + b² – 2ab Cos C

64 = 81 + 49 – 2(9) (7) . cos C

64 = 130 – 126 . cos C

64 – 130 = – 126 . cos C

-66 = -126 cos C

Cos C         = 66/126

 Cos C         = 33/63

Jadi nilai cos C = 33/63

Soal 8.

Untuk 0  ≤ x ≤ 360 himpunan penyelesaian dan persamaan  akar 2 sin x – 1 = 0 adalah…

Akar 2 sin x – 1 = 0

Akar 2 sin x = 1

Sin x = 1/akar 2

Sin x = ½ akar 2

X = 45⁰ dan 135⁰

Soal 8.

Untuk 0  ≤ x ≤ 360 himpunan penyelesaian dan persamaan  akar 2 sin x – 1 = 0 adalah…

Akar 2 sin x – 1 = 0

Akar 2 sin x = 1

Sin x = 1/akar 2

Sin x = ½ akar 2

X = 45⁰ dan 135⁰

Hp = 45⁰ dan 135⁰

Soal 9.

Untuk -180 < x < 180 himpunan penyelesaian dari 2 cos x + akar 3 = 0 adalah….

2 cos x = – akar 3

Cos x = – akar 3/ 2

           = -1/2 akar 3

X = 150⁰ dan 240⁰

Jadi Hp = 150⁰ dan 240⁰

Soal 10.

Pada П/2 < a < П, nilai tg a = 2,4 . Nilai sin a = …

pembahasan : pada soal ini nilai a terletak pada kuadran kedua yaitu antara 90⁰ sampai 180^0, maka nilai tg bernilai negatif :

tg  a= – 24/10 = de/sa

sin a = de/mi

mencari sisi miring pada kuadran kedua adalah :

mi = akar 24² + 10²

     = akar 676

mi = 26

maka sin a = de/mi = 24/26

           sin a  = 12/13

soal 11.

Tg A = P

Cos 2A = ….?

Pembahasan :

 Cos 2A = 1 –2 sin²x

Tg = P = de/sa

Mencari sisi miring :

  mi = akar p² + 1

Sin x = p/ akar p² + 1

Cos 2A = 1 – 2sin²x

             = 1 – 2 (p/ akar p² + 1)( p/ akar p² + 1)

             = 1 – 2p²/p² + 1

             = p² + 1 – 2p²/ p² + 1

            = – p² + 1/p² + 1

Jadi nilai  Cos 2A  = 1 – p²/ p² + 1

soal 12.

Pada segitiga ABC diketahui AC = 6 sudut A = 120⁰ dari sudut B = 30⁰, maka luas segitiga ABC = ….?

Sin B= de/mi

Sin 30   = 6/mi

½          = 6/mi

Mi         = 6/ ½

             = 12

Cos B = sa/mi

Cos 30 = sa/ 12

½ akar 3 = sa /12

Sa           = ½ akar 3 x 12

sa          = 6 akar 3

Luas segitiga adalah : ½ a x t

                                  : ½ x 6 x 6 akar 3

                                  : 18 akar 3

soal 13

Segitiga PQR siku-siku di Q. Jika panjang PR = 15 cm dan sec < p  = 5/, nilai cos < R adalah …

Pembahasan : …

Sec < P = 5/3

Cos < P = 3/5

Cos < P = r/q

r          = cos < P x q

           = 3/5 x 15 cm

           = 9 cm

r²        = p² + q² – 2pq x cos R

81       = 144 + 225 – 2 (12) (15) x cos R

81       = 369 – 360 . Cos R

288    = 360 Cos R

Cos R = 288/360

Cos R = 4/5

soal 14.

Segitiga ABC diketahui sudut A = 75⁰ sudut A = 60⁰ dan sudut C = 45⁰, maka AB : AC adalah

AB/AC = Sin C/ Sin B

AB/AC = Sin 45⁰/Sin 60⁰

AB/AC = ½ akar 2 / ½ akar 3

AB/AC  = akar 2 / akar 3

Soal 15.

Diketahui sin x = 0,6 untuk x terletak diantara 90⁰ dan 180⁰, maka tg x =…

Sin x = 6/10 = de/mi

Tg x = de/sa

Mencari sisi samping adalah ..

Sa = akar 10² – 6²

     = akar 64

     = 8

karena terletak di kuadran II, maka nilai tg x bernilai negatif

tg x  = – 6/8

        = – 3/4

Soal 16

Diketahui sin α = a ; α sudut tumpul. Maka tan α =

sin α = a = de/mi

untuk mencari sisi samping adalah …

sa = akar 1² – a²

 sa = akar 1 – a²

karena sudut tumpul terletak antara 90⁰ dan 180⁰, maka nilai tg bernilai negatif

jadi, tg x = – a / akar 1 – a²

soal 17.

diketahui tg x = a

sin 2x = ….?

Pembahasan :

Sin 2x = 2 sinx cosx

tg x = a = de/sa

mencari sisi miringnya…

mi = akar a² + 1²

mi     = akar a² + 1

sin x = de/mi

        = a /akar a² + 1

Cos x = sa/mi = 1/akar a² + 1

Jadi nilai sin 2x = 2 sinx cosx

                           = 2 x  a/akar a² + 1  x 1/akar a² + 1

                          = 2a/ a² + 1Soal 1.

       Sin (a-b) /     tan a – tan b

        = sin a . cos b – cos a . sin b/ sin a  /cos a  –  sin b/cos b

                                  =  sin a . cos b  – cos a. Sin b / Sin a . cos b – cos a . sin b/ Cos a . cos b

                                  = sin a . cos b – cos a . sin b x          cos a. Cos b / Sin a . cos b – cos a . sin b

                                     = cos a . cos b

Soal 2

Jika 0 < x < П/2 dan 2 tan² x – 5 tan x + 2 = 0, maka nilai dari 2 sin x . cos x adalah ..

Pembahasan :

2 tan² x – 5 tan x + 2 = 0

(2 tan x -1) (tan x -2) = 0

2 tan x – 1 = 0                tan x = 2

Tan x = ½

Jadi untuk nilai sin x  diambil dari perbandingan tan x = ½

Tan x = ½ = sa/mi

Mencari sisi miring  menggunakan  rumus phytagoras :

Mi = akar 1² + 2²

     = akar 5

Sehingga nilai sin x = de/mi

                                        = 1/ akar 5

Cos x = 2/ akar 5

Jadi nilai 2 sin x cos x = 2 x 1/akar 5 x 2/akar 5

                                        = 0,8

Soal 3.

Diketahui α ⁰ sudut lancip dan sin α = 2/3 . Nilai tg α ⁰  adalah …

Sin x = 2/3 = de/mi

Tg x = de/sa

Untuk mencari sisi samping sudut dengan menggunakan hukum phytagoras :

Sa = akar 3² – 2²

    = akar 5

Tg x = 2/akar 5

        = 2/akar 5 x akar 5/akar 5

       = 2/5 akar 5

Soal 4.

Diketahui sin A⁰ = 12/13 untuk П/2 < A < П. Nilai dari sin (П/2 – A)⁰ adalah …

Pembahasan :

Sin (П/2 – A)⁰ = sin A . cos B – cos A . sin B

                         = Sin 90 . 5/13 – cos 90 . 12/13

                         = 5/13

Soal 5.

Pada П/2 < a < П, nilai tg a = 2,4. Nilai sin a =

Tg a = 2,4 = 24/10 = de/sa

Karena range sudut antara 90⁰ dan 180⁰, maka terletak pada kuadran II sehingga nilai tg bernilai negatif.

Tg a = – 24/10 = de/sa

Sin a = de/mi

Untuk mencari sisi miringnya menggunakan hukum phytagoras..

Mi = akar 24² + 10²

     = akar 676

   = 26

Maka nilai sin a = 24/26

                    Sin a = 12/13

Soal 6

Berikut ini2 senilai dengan sin 125 adalah ….

Sin 125⁰ sama dengan  sin 55⁰

Sin 125 terletak di kuadran II jadi, sin (180 – 125) = sin 55⁰

Soal  7 .

Diketahui segitiga  ABC dengan panjang sisi-sisinya a = 9, b = 7, dan c = 8. Nilai cos C = …

c² = a² + b² – 2ab Cos C

64 = 81 + 49 – 2(9) (7) . cos C

64 = 130 – 126 . cos C

64 – 130 = – 126 . cos C

-66 = -126 cos C

Cos C         = 66/126

 Cos C         = 33/63

Jadi nilai cos C = 33/63

Soal 8.

Untuk 0  ≤ x ≤ 360 himpunan penyelesaian dan persamaan  akar 2 sin x – 1 = 0 adalah…

Akar 2 sin x – 1 = 0

Akar 2 sin x = 1

Sin x = 1/akar 2

Sin x = ½ akar 2

X = 45⁰ dan 135⁰

Soal 8.

Untuk 0  ≤ x ≤ 360 himpunan penyelesaian dan persamaan  akar 2 sin x – 1 = 0 adalah…

Akar 2 sin x – 1 = 0

Akar 2 sin x = 1

Sin x = 1/akar 2

Sin x = ½ akar 2

X = 45⁰ dan 135⁰

Hp = 45⁰ dan 135⁰

Soal 9.

Untuk -180 < x < 180 himpunan penyelesaian dari 2 cos x + akar 3 = 0 adalah….

2 cos x = – akar 3

Cos x = – akar 3/ 2

           = -1/2 akar 3

X = 150⁰ dan 240⁰

Jadi Hp = 150⁰ dan 240⁰

Soal 10.

Pada П/2 < a < П, nilai tg a = 2,4 . Nilai sin a = …

pembahasan : pada soal ini nilai a terletak pada kuadran kedua yaitu antara 90⁰ sampai 180^0, maka nilai tg bernilai negatif :

tg  a= – 24/10 = de/sa

sin a = de/mi

mencari sisi miring pada kuadran kedua adalah :

mi = akar 24² + 10²

     = akar 676

mi = 26

maka sin a = de/mi = 24/26

           sin a  = 12/13

soal 11.

Tg A = P

Cos 2A = ….?

Pembahasan :

 Cos 2A = 1 –2 sin²x

Tg = P = de/sa

Mencari sisi miring :

  mi = akar p² + 1

Sin x = p/ akar p² + 1

Cos 2A = 1 – 2sin²x

             = 1 – 2 (p/ akar p² + 1)( p/ akar p² + 1)

             = 1 – 2p²/p² + 1

             = p² + 1 – 2p²/ p² + 1

            = – p² + 1/p² + 1

Jadi nilai  Cos 2A  = 1 – p²/ p² + 1

soal 12.

Pada segitiga ABC diketahui AC = 6 sudut A = 120⁰ dari sudut B = 30⁰, maka luas segitiga ABC = ….?

Sin B= de/mi

Sin 30   = 6/mi

½          = 6/mi

Mi         = 6/ ½

             = 12

Cos B = sa/mi

Cos 30 = sa/ 12

½ akar 3 = sa /12

Sa           = ½ akar 3 x 12

sa          = 6 akar 3

Luas segitiga adalah : ½ a x t

                                  : ½ x 6 x 6 akar 3

                                  : 18 akar 3

soal 13

Segitiga PQR siku-siku di Q. Jika panjang PR = 15 cm dan sec < p  = 5/, nilai cos < R adalah …

Pembahasan : …

Sec < P = 5/3

Cos < P = 3/5

Cos < P = r/q

r          = cos < P x q

           = 3/5 x 15 cm

           = 9 cm

r²        = p² + q² – 2pq x cos R

81       = 144 + 225 – 2 (12) (15) x cos R

81       = 369 – 360 . Cos R

288    = 360 Cos R

Cos R = 288/360

Cos R = 4/5

soal 14.

Segitiga ABC diketahui sudut A = 75⁰ sudut A = 60⁰ dan sudut C = 45⁰, maka AB : AC adalah

AB/AC = Sin C/ Sin B

AB/AC = Sin 45⁰/Sin 60⁰

AB/AC = ½ akar 2 / ½ akar 3

AB/AC  = akar 2 / akar 3

Soal 15.

Diketahui sin x = 0,6 untuk x terletak diantara 90⁰ dan 180⁰, maka tg x =…

Sin x = 6/10 = de/mi

Tg x = de/sa

Mencari sisi samping adalah ..

Sa = akar 10² – 6²

     = akar 64

     = 8

karena terletak di kuadran II, maka nilai tg x bernilai negatif

tg x  = – 6/8

        = – 3/4

Soal 16

Diketahui sin α = a ; α sudut tumpul. Maka tan α =

sin α = a = de/mi

untuk mencari sisi samping adalah …

sa = akar 1² – a²

 sa = akar 1 – a²

karena sudut tumpul terletak antara 90⁰ dan 180⁰, maka nilai tg bernilai negatif

jadi, tg x = – a / akar 1 – a²

soal 17.

diketahui tg x = a

sin 2x = ….?

Pembahasan :

Sin 2x = 2 sinx cosx

tg x = a = de/sa

mencari sisi miringnya…

mi = akar a² + 1²

mi     = akar a² + 1

sin x = de/mi

        = a /akar a² + 1

Cos x = sa/mi = 1/akar a² + 1

Jadi nilai sin 2x = 2 sinx cosx

                           = 2 x  a/akar a² + 1  x 1/akar a² + 1

                          = 2a/ a² + 1